結城さんの問題を解いてみた

問題

ある病気にかかっているかどうかを見分ける検査があるとしましょう。 その検査の確かさは95%とします。 つまり、

* その病気に実際にかかっている人100人に検査すると、正しく陽性になる人は95人いて（誤って陰性になる人は5人）、
* その病気に実際にかかっていない人100人に検査すると、正しく陰性になる人は95人いる（誤って陽性になる人は5人）。

という意味です。

さて、あなたが住んでいる都市には100万人の人がいます。 そのうち1%の人（つまり1万人）が実際にその病気にかかっているとしましょう。

あなたがこの検査を受けたとき、陽性の結果になりました。

あなたがその病気にほんとうにかかっている確率は何%でしょうか？

陰性の人は990,000人。
そのうち正しく陰性と結果が出るのは 990,000人 * 0.95 = 940,500人
本当は陰性なのに陽性と結果が出るのは 990,000人 * 0.05 = 49,500人

陽性の人は10,000人。
そのうち正しく陽性と結果が出るのは 10,000人 * 0.95 = 9,500人
本当は陽性なのに陰性と結果が出るのは 10,000人 * 0.05 = 500人

陽性と結果が出るのは 49,500人 + 9,500人 = 59,000人
そのうち本当に陽性なのは 9,500人
従って、陽性と結果がでて本当に陽性である確率は 9,500 / 59,000 = 0.1610...
答え 約16.1%

逆に陰性と結果が出て本当に陰性なのは
940,500 / (940,500 + 500) = 940,500 / 941,000 = 0.9994...
答え 約99.9%

合ってるのか?

(追記)合ってた。